Предельная теорема для средних членов вариационного ряда длин циклов случайной $A$-подстановки

Рассматривается случайная подстановка $\tau_n$, равномерно распределенная на множестве всех подстановок степени $n$, длины циклов которых принадлежат фиксированному множеству $A$ (так называемых $A$-подстановок). Пусть $\zeta_n$ — общее число циклов и $\eta_n(1)\le\eta_n(2)\le\dots\le\eta_n(\zeta_n)$ —вариационный ряд длин циклов подстановки $\tau_n$. В настоящей статье получена центральная предельная теорема для средних членов этого ряда, а именно для случайных величин $\eta_n(m)$ с номерами $m=\alpha\ln n+o\,(\sqrt{\ln n})$ при $n\to\infty$ и фиксированном $\alpha\in(0,\sigma)$ для определенного класса множеств $A$ положительной асимптотической плотности $\sigma$. Основным средством доказательства является новая трехмерная тауберова теорема. Поведение крайних левых и крайних правых членов этого ряда исследовано автором ранее.