Об условно-экстремальных задачах скорейшего обнаружения непредсказуемых моментов у наблюдаемого броуновского движения

Для броуновского движения $B=(B_t)_{0\le t\le1}$ рассматриваются непредсказуемые моменты
$$ \theta=\inf\Bigl\{t\le 1:B_t=\max_{0\le s\le1}B_s\Bigr\},\quad g=\sup\{t\le 1:B_t=0\}. $$

Основные результаты работы относятся к решению следующих условно-экстремальных задач: в классах марковских моментов
\begin{equation} \begin{aligned} \mathfrak{M}_\alpha^B(\theta)&=\{\tau\le 1: \mathbf{P}\,\{\tau<\theta\}\le\alpha\}, \\ \mathfrak{M}_\alpha^B(g)&=\{\sigma\le 1: \mathbf{P}\,\{\sigma<g\}\le\alpha\}, \end{aligned} \end{equation}
где $0<\alpha<1$, описать структуру оптимальных моментов $\tau_\alpha^*(\theta)$ и $\sigma_\alpha^*(g)$, для которых
\begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{E}\,[\tau_\alpha^*(\theta)-\theta]^+&=\inf_{\tau\in\mathfrak{M}_\alpha^B(\theta)}\mathbf{E}\,(\tau-\theta)^+, \\ \mathbf{E}\,[\sigma_\alpha^*(g)-g]^+&=\inf_{\sigma\in\mathfrak{M}_\alpha^B(g)}\mathbf{E}\,(\sigma-g)^+. \end{aligned} \end{equation}

Рассматриваются также вопросы структуры некоторых специальных моментов в классах $\mathfrak{M}_\alpha^B(\theta^\mu)$ и $\mathfrak{M}_\alpha^B(g^\mu)$ для случая броуновского движения со сносом $B^\mu=(B_t^\mu)_{0\le t\le1}$, где $B_t^\mu=\mu t+B_t$.