On the maximum correlation coefficient

Для произвольного случайного вектора $(X,Y)$ и независимой случайной величины $Z$ показывается, что максимальный коэффициент корреляции между $X$ и $Y+\lambda Z$ как функция $\lambda$ всюду полунепрерывен снизу и непрерывен в нуле, где и достигает своего максимума. Более того, если $Z$ принадлежит классу саморазложимых случайных величин, то максимальный коэффициент корреляции непрерывен справа и не возрастает при $\lambda\ge 0$ и непрерывен слева и не убывает при $\lambda \le 0$. Независимые случайные величины $X$ и $Z$ являются гауссовскими тогда и только тогда, когда максимальный коэффициент корреляции между $X$ и $X+\lambda Z$ равен линейной корреляции между ними. Максимальный коэффициент корреляции между суммой $n$ независимых одинаково распределенных случайных величин и суммой первых $m<n$ из них равен $\sqrt{m/n}$ (ранее этот результат был доказан только для случайных величин с конечными вторыми моментами, в этом случае максимальный коэффициент корреляции также совпадает с линейной корреляцией). Приводятся примеры, противоречащие интуитивным представлениям о поведении максимального коэффициента корреляции для $Z$ более общего вида и в пределе при $\lambda \to \infty$.