Волны в редуцированных ветвящихся процессах в случайной среде

Рассматривается ветвящийся процесс $Z(n)$, $n=0,1\ldots $ в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных производящих функций $f_0(s),f_1(s),\dots$ . Пусть $S_0=0$, $S_{k}=X_1+\dots+X_{k}$, $k\ge 1$, — сопровождающее случайное блуждание этого процесса, где $X_{i}=\ln f_{i-1}'(1)$, а $\tau (n)$ — самая левая точка, в которой достигается минимум блуждания $\{S_{k}$, $k\ge 0\} $ на интервале $[0,n]$. Обозначим $Z(k,m)$ число частиц, существовавших в ветвящемся процессе в момент времени $k\le m$ и имеющих ненулевое потомство в момент $m$. В предположении, что сопровождающее случайное блуждание удовлетворяет условию Дони $P(S_{n}>0)\to\rho\in(0,1)$, $n\to\infty$, доказаны (в рамках так называемого quenched approach) условные предельные теоремы при $n\to\infty$ для распределения случайной величины $Z(nt_1,nt_{2})$, $0<t_1<t_{2}<1$, при условии $Z(n)>0$. Показано, что вид предельных распределений существенно зависит от взаимного расположения величины $\tau (n)$ и отрезка $[nt_1,nt_{2}]$.