Об одном свойстве момента достижения максимума броуновским движением и некоторых задачах оптимальной остановки

Пусть $B=(B_t)_{0\le t \le 1}$ — стандартное броуновское движение, выходящее из нуля, и пусть $\theta$ — момент достижения им своего максимума, т.е. $B_\theta=\max_{0\le t\le 1}B_t$. Обозначим $(\mathscr{F}_t^B)_{0\le t\le 1}$ фильтрацию, порожденную $B$. Доказывается, что для любого $(\mathscr{F}_t^B)$-момента остановки $\tau$ $(0\le\tau\le 1)$ имеет место равенство
$$ E(B_\theta-B_\tau)^2=E|\theta-\tau|+\frac{1}{2}. $$
Отсюда и из результатов работы [1] мгновенно вытекает, что оптимальный момент остановки $\tau_*$ в задаче оптимальной остановки
$$ \inf_\tauE|\theta-\tau| $$
имеет следующий вид:
$$ \tau_*=\inf\{0\le t\le 1: S_t-B_t\ge z_*\sqrt{1-t}\}, $$
где $S_t=\max_{0\le s\le t}B_s$, $z_*$ — единственный положительный корень уравнения $4\Phi(z)-2z\phi(z)-3=0$, $\phi(z)$ и $\Phi(z)$ — соответственно плотность и функция распределения стандартной нормальной случайной величины. Решены задачи оптимальной остановки
$$ \inf_{\tau\in\mathfrak{M}_\alpha}E(\tau-\theta)^+ \quadи\quad \inf_{\tau\in\mathfrak{N}_\alpha}E(\tau-\theta)^-, $$
где $\mathfrak{M}_\alpha=\{\tau: E(\tau-\theta)^-\le\alpha\}$, а $\mathfrak{N}_\alpha=\{\tau: E(\tau-\theta)^+\le\alpha\}$. Оптимальные моменты остановки в них также имеют описанный выше вид (с другими $z_*$).