On weak solutions of backward stochastic differential equations

Основная цель статьи —обсудить понятие слабого решения одного типа обратных стохастических дифференциальных уравнений. Используя слабую сходимость в топологии Мейера–Чжэна, мы получаем общий результат о существовании. Терминальное условие $H$ функционально зависит от непрерывного справа и имеющего пределы слева управляющего процесса $X$, а коэффициент $f$ зависит от времени $t$ и функционально от $X$ и процесса решения $Y$. Функционал $f(t,x,y),(t,x,y)\in [0,T]\times D([0,T];R^{d+m})$ предполагается ограниченным и непрерывным по $(x,y)$ на пространстве Скорохода $D([0,T];R^{d+m})$ в топологии Мейера–Чжэна. С помощью примеров типа примера Цирельсона мы показываем, что, действительно, существуют слабые решения, не являющиеся сильными, т.е. не являющиеся решениями в обычном смысле. Мы обсуждаем также потраекторную единственность решения и единственность по распределению и заключаем, что (подобно теореме Ямада–Ватанабэ) потраекторная единственность и слабое существование гарантируют существование (единственного) сильного решения. Применение этих идей дало нам возможность установить существование (единственного) сильного решения в случае, когда, в дополнение к описанным выше предположениям, $f$ удовлетворяет некоторому обобщенному условию липшицева типа.