Random time-changed extremal processes

Точечный процесс $\mathscr N =\{(T_k,X_k)\colon k\geqslant1\}$, который мы рассматриваем, предполагается бернуллиевским с независимыми случайными векторами $X_k$ в $[0,\infty)^d$ и случайными моментами времени $T_k$ в $[0,\infty)$, независимыми от $X$. Для нормировки мы используем регулярную последовательность $\xi_n(t,x) =(\tau_n(t),u_n(x))$ замены времени-пространства со значениями в $[0,\infty)^{1+d}$. Мы рассматриваем последовательность ассоциированных экстремальных процессов
$$ \widetilde Y_n(t)=\bigl\{\textstyle\bigvee u^{-1}_n (X_k)\colon T_k\leqslant\tau_n(t)\bigr\}, $$
где операция взятия максимума «$\vee$» определена в $\mathbf R^d$ покомпонентно. Мы предполагаем, что существуют стохастически непрерывный временной процесс $\theta=\{\theta(t)\colon t\geqslant0\}$, строго возрастающий и независимый от $\{X_k\}$, и целочисленная детерминированная считающая функция $k$ на $[0,\infty)$ такие, что считающий процесс $N$ точечного процесса $\mathscr N$ имеет вид $N(s)=k(\theta(s))$ п.н.
В такой постановке мы доказываем функциональную теорему переноса, которая утверждает, что если $\tau_n^{-1}\circ \theta \circ \tau_n \Rightarrow \Lambda$, где $\Lambda$ строго возрастает и является стохастически непрерывным, и $\bigvee_{k=1}^{k(\tau_n(\,\cdot\,))}u^{-1}_n (X_k)\Rightarrow Y(\,\cdot\,)$, то $\widetilde Y_n\Rightarrow\widetilde Y=Y\circ\Lambda$, где $Y$ — самоподобный экстремальный процесс. Мы называем такие предельные процессы процессами со случайной заменой времени или составными процессами. Они являются стохастически непрерывными и самоподобными относительно той же самой однопараметрической нормирующей группы, что и $Y$. Мы показываем, что составной процесс является экстремальным (т.е. процессом с независимыми max-приращениями) тогда и только тогда, когда $\Lambda$ имеет независимые приращения и $Y$ имеет однородные max-приращения. В заключение мы применяем случайные экстремальные процессы с заменой времени для нахождения оценки снизу вероятности разорения в связанной с $\mathcal N$ страховой модели. Мы даем также оценку сверху, получаемую с помощью $\alpha$-устойчивого движения Леви.