Weak convergence of the integrated number of level crossings to the local time for Wiener processes

Пусть $\{X_t,t\in[0,1]\}$ есть стандартный винеровский процесс, определенный на $(\Omega,\mathscr{A},\mathsf{P})$. Рассмотрим упорядочивающий процесс $X_t^{\varepsilon}=\varphi_{\varepsilon}\star X_t$, где $\varphi_{\varepsilon}(t)=(1/\varepsilon)\varphi(t/\varepsilon)$ есть ядро, сходящееся к дельта-функции Дирака при $\varepsilon\to0$. В статье изучается сходимость
$$ Z_{\varepsilon}(f)=\varepsilon^{-1/2}\int_{-\infty}^{+\infty}\biggl[\frac{N^{X^{\varepsilon}}(x)}{c(\varepsilon)}-L_X(x)\biggr]f(x)\,dx, $$
когда $\varepsilon$ стремится к нулю, здесь $N^{X^{\varepsilon}}(x)$ есть число пересечений процессом $X^{\varepsilon}$ уровня $x$ в промежутке $[0,1]$, a $L_X(x)$ есть локальное время пребывания $X$ в $x$ на отрезке $[0,1]$. Как следствие предложенного метода, получен результат о слабой сходимости для приращений процесса $X$.