A pathwise solution of the equations of nonlinear filtering

Пусть $(x_t)$ – однородный феллеровский марковский процесс в $R^d$ c начальным распределением $\pi$ и переходной полугруппой $T_t$. Величину $\mathbf Ef(x_t)=\langle T_tf,\pi\rangle$ мы можем рассматривать как «безусловную оценку» $f(x_t)$. Пусть наблюдается процесс $(y_t)$, удовлетворяющий уравнению $dy_t=h(x_t)+dw_t$, где $w_t$ – броуновское движение. Мы показываем, что если $(x_t)$ – процесс Леви, то ненормированный вариант «условной оценки» $\mathbf E\{f(x_t)\mid y_s,\ 0\le s\le t\}$ можно представить в виде $\langle T_{0,t}(e^{y(t)h}f),\,\pi\rangle$, где $T_{s,t}$ – двупараметрическая полугруппа операторов, зависящих от наблюдаемой траектории $y(\cdot)$. Если $(x_t)$ – диффузионный процесс, то условное математическое ожидание можно представить в виде интеграла, параметризованного с помощью $y(\cdot)$.