О переходных явлениях в случайных блужданиях

Пусть $\overline S_n=\max_{1\le k\le n}\sum_{i=1}^{k}X_{i,n}$, где при каждом $n=1,2,\dots$ последовательность $X_{1,n},\dots,X_{n,n}$ состоит из независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечными положительными дисперсиями. В работе изучается задача о получении простых и неулучшаемых достаточных условий, типа условия Линдеберга, которые гарантировали бы сходимость нормированной величины $(\overline S_n-A_n)/B_n$ к некоторой невырожденной случайной величине при соответствующим образом подобранных постоянных $A_n$ и $B_n>0$. Упрощены, уточнены и усилены результаты, полученные ранее в этом направлении Ю. В. Прохоровым и А. А. Боровковым. В частности, подробно рассмотрен неисследованный ранее случай, когда $D X_{1,n}\to 0$ при $n\to\infty$.