Tests de rupture de régression: comparaison asymptotique

В работе рассматривается последовательность случайных величин $Y_1,\dots,Y_n$, где
$$ Y_k=x_k^\ast\beta_k+u_k $$
и где $x_k$ – известные векторы, $u_k$ – независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение $\mathscr N(0,\sigma^2)$, а векторы $\beta_k$ неизвестны. Речь идет о проверке гипотезы $\beta_1=\dots=\beta_n$ против альтернатив вида
$$ \exists k_0:\,\beta_1=\dots=\beta_{k_0}\ne\beta_{k_0+1}=\dots=\beta_n. $$
Изучаются асимптотические свойства критериев, основанных на частичных суммах вида
$$ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^kf(w_i),\ \text{где}\ w_i=\frac{Y_i-x_i^\ast B_{i-1}}{\sqrt{1+x_i^\ast[X_{i-1}^\ast X_{i-1}]^{-1}x_i}} $$
и где матрица $X_i=(x_1,\dots,x_i)$, а векторы $B_i=[X_i^\ast X_i]^{-1}X_i^\ast Y_i$ и $Y_i^\ast=(Y_1,\dots,Y_i)$. Получены асимптотические выражения для логарифма вероятности ошибки второго рода рассматриваемых критериев при фиксированных альтернативах.