О ладкости и сингулярности инвариантных мер и переходных вероятностей бесконечномерных диффузий

В заметке построены два примера невырожденной диффузии, заданной стохастическим дифференциальным уравнением
$$ d\xi_t=\sigma(\xi_t)\,dW_t+B(\xi_t)\,dt $$
в гильбертовом пространстве $X$, где $\sigma(x)=I+\sigma_0(x)$ и $B(x)=\Lambda x+v(x)$, $\Lambda$ – непрерывный линейный оператор на $X$, а $\sigma_0$ и $v$ – бесконечно дифференцируемые по Фреше отображения со значениями в пространстве ядерных операторов на $X$ и в $X$ соответственно, со всеми ограниченными производными, такие, что:
(i) в первом примере $\Lambda x=-\frac12x$ и диффузия $\xi_t$ обладает (единственной) инвариантной вероятностной мерой, которая вместе с переходными вероятностями не имеет направлений дифференцируемости (и даже непрерывности);
(ii) во втором примере $\xi_t$ имеет две различные инвариантные вероятностные меры $\nu_1$ и $\nu_2$, при этом $\nu_1$ эквивалентна некоторой гауссовской мере и дифференцируема, а $\nu_2$ не имеет направлений дифференцируемости (и даже непрерывности).