$d$-dimensional pressureless Gas equations

Пусть $x\in R^d\to u(x,0)$ — непрерывная ограниченная функция и $\rho(dx,0)$ вероятностная мера на $R^d$. Мы показываем, что для любой случайной величины $X_0$ с распределением вероятностей $\rho(dx,0)$ стохастическое дифференциальное уравнение
$$ X_t = X_0 + \int_0^t E[u(X_0,0)\,|\, X_s ]\,ds,\qquad t\ge 0, $$
имеет решение, которое является $\sigma(X_0)$-измеримым марковским процессом. Мы выводим, для $d \ge 1$, слабое решение уравнения для газа без давления с начальным распределением масс $\rho(dx,0)$ и начальной скоростью $u(\cdot,0)$. Для $d = 1$ мы доказываем существование единственного марковского процесса $(X_t)$, являющегося решением нашего стохастического дифференциального уравнения.