К теореме Скитовича–Дармуа для дискретных абелевых групп

Доказана следующая теорема. Пусть $X$ — счетная дискретная абелева группа, $\textrm{Aut}(X)$ — группа автоморфизмов группы $X$, $\xi_1, \xi_2$ — независимые случайные величины со значениями в $X$ и с распределениями $\mu_1, \mu_2$. Пусть $\alpha_j, \beta_j \in \textrm{Aut}(X).$ Тогда из независимости линейных статистик $L_1=\alpha_1\xi_1 + \alpha_2\xi_2$ и $L_2=\beta_1\xi_1 + \beta_2\xi_2$ следует, что $\mu_1, \mu_2$ — идемпотентные распределения.