О точной асимптотике в слабом законе больших чисел для сумм независимых случайных величин с общей функцией распределения из области притяжения устойчивого закона. II

Рассмотрим независимые одинаково распределенные случайные величины $X_1,X_2,\dots$ такие, что
$$ U_n=\frac{1}{B_n}\,S_n-n\,a_n \longrightarrow \xi_\alpha\qquad \text{по вероятности при}\quad n\to\infty, $$
где $S_n=X_1+\dots+X_n$ и $B_n>0$, $a_n$ — некоторые числа $(n\ge 1)$, а случайная величина $\xi_\alpha$ имеет некоторое устойчивое распределение с характеристическим показателем $\alpha\in [1,2]$, причем при $\alpha\neq 2$ предполагается, что правый хвост распределения $\xi_\alpha$ убывает быстрее его левого хвоста.
Целью работы является нахождение условий, при которых
$$ \sum_n f_n P\{U_n\ge\varepsilon\varphi_n\}\sim\sum_n f_n P\{\xi_\alpha\ge \varepsilon \varphi_n\},\qquad \varepsilon\searrow 0, $$
где $\varphi_n$ — положительная последовательность, монотонно растущая к бесконечности и удовлетворяющая некоторым дополнительным ограничениям, а $f_n$ — неотрицательная последовательность такая, что $\sum_n f_n=\infty$.