On the Brownian first-passage time over a one-sided stochastic boundary

Пусть $B=(B_t)_{t\ge0}$ – стандартное броуновское движение относительно меры $\mathsf{P}$, выходящее из нуля; $S_t=\max_{0\le r\le t}B_r$ – процесс максимума, связанный с $B$; $g\colon\mathsf{R}_+\to\mathsf{R}$ – (строго) монотонная непрерывная функция, удовлетворяющая условию: $g(s)<s$ для всех $s\ge0$. Пусть $\tau$ – момент первого достижения процессом $B$ границы $t\mapsto g(S_t)$:
$$ \tau=\inf\{t>0\mid B_t\le g(S_t)\}. $$
Определим функцию $G$ как
$$ G(y)=\exp\biggl(-\int_0^{g^{-1}(y)}\frac{ds}{s-g(s)}\biggr) $$
для $y\in\mathsf{R}$ из области изменения $g$. Тогда если $g$ возрастает, то
$$ \lim_{t\to\infty}\sqrt{t}\mathsf{P}\{\tau\ge t\}=\sqrt{\frac2{\pi}}\biggl(-g(0)-\int_{g(0)}^{g(\infty)}G(y)\,dy\biggr), $$
и это число конечно. Аналогично, если $g$ убывает, то
$$ \lim_{t\to\infty}\sqrt{t}\mathsf{P}\{\tau\ge t\}=\sqrt{\frac2{\pi}}\biggl(-g(0)+\int_{g(\infty)}^{g(0)}G(y)\,dy\} $$
и это число может оказаться бесконечным. Эти результаты могут рассматриваться как обобщение на случай стохастических границ известных результатов о моменте первого достижения детерминированной границы. Метод доказательства опирается на классическую тауберову теорему и некоторые обобщения критериев Новикова–Казамаки для экспоненциальных мартингалов.