On sharp large deviations for sums of random vectors and multidimensional Laplace approximation

Пусть $X, X_i,i\geq 1$, — последовательность независимых одинаково распределенных векторов в $R^d$. Рассмотрим частичные суммы $S_n:=X_1+\cdots +X_n$. При некоторых условиях регулярности на распределение $X$ мы получаем асимптотическую формулу для $P\{S_n\in nA\}$, где $A$ — произвольное борелевское множество. Приводится несколько следствий, одно из которых утверждает, что, при тех же условиях регулярности, для любого борелевского множества $A$ предел $\lim_{n\to\infty}n^{-1}\log P\{S_n\in nA\}=-I(A)$, где $I$ —функционал больших уклонений. Мы также доказываем результат о многомерной аппроксимации типа Лапласа, который позволяет явно вычислить вероятности точных больших уклонений, когда $A$ имеет гладкую границу.