О точной константе в неравенстве Розенталя

Пусть $\xi_1,\dots,\xi_n$ – независимые симметрично распределенные случайные величины с конечным $p$-м моментом, $2<p<\infty$. В настоящей статье показано, что точная константа $C^*_p$ в неравенстве Розенталя
$$ \biggl\|\sum_{i=1}^n\xi_i\biggr\|\le C_p\max\biggl(\biggl\|\sum_{i=1}^n\xi_i\biggr\|_2,\biggl(\sum_{i=1}^n\|\xi_i\|_p^p\biggr)^{1/p}\biggr) $$
имеет вид
\begin{align*} C_p^*&=\biggl(1+\frac{2^{p/1}}{\pi^{1/2}}\Gamma\biggl(\frac{p+1}2\biggr)\biggr)^{1/p}, \qquad 2<p<4, \\ C_p^*&=\|\xi_1-\xi_2\|_p, \qquad p\ge4, \end{align*}
где $\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}\,dx$, $\xi_1$, $\xi_2$ – независимые пуассоновские случайные величины с параметром 0.5. Доказано также, что
$$ \lim_{p\to\infty}C_p^*\frac{\ln p}p=\frac1e. $$