Approximation of quadratic forms of independent random vectors by accompanying laws

Пусть $X, X_1,X_2,\dots$ – независимые одинаково распределенные (н.о.р.) случайные векторы, принимающие значения из $\mathbb{R}^d$. Предположим, что $\mathsf{E}X=0$, $\mathsf{E}|X|^{8/3}<\infty$ и вектор $X$ не сконцентрирован в собственном подпростанстве $\mathbb{R}^d$. Обозначим через $Y,Y_1,Y_2,\dots$ н.о.р. случайные векторы, имеющие общее распределение, сопровождающее распределение $X$. В данной работе сравниваются распределения невырожденных квадратичных форм $Q[S_N]$ и $Q[T_N]$ нормированных сумм $S_N=N^{-1/2}(X_1+\dots+X_N)$ и $T_N=N^{-1/2}(Y_1+\dots+Y_N)$ и доказывается, что
\begin{align*} &\sup_x|\mathsf{P}\{Q[S_N-a]<x\}-\mathsf{P}\{Q[T_N-a]<x\}| \\ &\qquad=O((1+|a|^4)N^{-1}), \qquad a\in\mathbb{R}^d, \end{align*}
при условии, что $9\le d\le\infty$. Константа в этой оценке зависит от $\mathsf{E}|X|^{8/3}$, $Q$ и от ковариационного оператора $X$. Также устанавливается, что оценка $O(N^{-1})$ является оптимальной.