Предельные теоремы для редуцированных ветвящихся процессов в случайной среде

Рассматривается ветвящийся процесс $Z(n)$, $n=0,1\ldots$ в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных производящих функций $f_0(s),f_1(s),\dots$ . Пусть $S_0=0$, $S_k=X_1+\dots+X_k$, $k\ge 1$, — сопровождающее случайное блуждание этого процесса, $X_i=\log f_{i-1}'(1)$, а $\tau(n)$ — самая левая точка, в которой достигается минимум блуждания $\{S_k\}_{k\ge 0}$ на интервале $[0,n]$. Обозначим $Z(k,n)$ число частиц, существовавших в ветвящемся процессе в момент времени $k\le n$ и имеющих ненулевое потомство в момент времени $n$. В предположении, что для сопровождающего случайного блуждания выполнено условие Спицера–Дони $\mathbf{P}\{S_n>0\}\to\rho\in(0,1)$, $n\to\infty$, показано (в рамках так называемого quenched approach), что для любого фиксированного $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ распределение случайной величины $Z(\tau(n)+m,n)$ при условии $Z(n)>0$ сходится при $n\to\infty$ к (случайному) дискретному распределению, являющемуся собственным с вероятностью 1. В случае же, когда $m=m(n)\to\infty$ при $n\to\infty$, для доказательства аналогичной условной предельной теоремы о распределении случайной величины $Z(\tau(n)+m,n)$ при условии $Z(n)>0$ необходимо нормировать $Z(\tau(n)+m,n)$ некоторой функцией, стремящейся к бесконечности с ростом $m$.