Положительные плотности переходных вероятностей диффузионных процессов

Для диффузионных процессов в $R^d$ с локально неограниченными коэффициентами сноса получено достаточное условие строгой положительности переходных вероятностей. Для этого рассматриваются параболические уравнения вида $\mathscr{L}^{*}\mu=0$ относительно мер на $R^d\times (0,1)$ с оператором
$$ \mathscr{L}u:=\partial_t u+\partial_{x_i}(a^{ij}\partial_{x_j}u)+ b^i\partial_{x_i}u. $$
Показано, что если коэффициент диффузии $A=(a^{ij})$ достаточно регулярен, а коэффициент сноса $b=(b^i)$ удовлетворяет условию $\exp(\kappa |b|^2)\in L_{\mathrm{loc}}^1(\mu)$, причем мера $\mu$ неотрицательна, то $\mu$ обладает непрерывной плотностью $\varrho(x,t)$, которая строго положительна при $t>\tau$, если она не равна нулю тождественно при $t\le\tau$. Получены применения к конечномерным проекциям стационарных распределений и переходных вероятностей бесконечномерных диффузий.