К оценке эффективности голосующих процедур

Рассматривается задача принятия коллегиального решения на основе индивидуальных мнений $n$ экспертов, принимающих решения независимо, причем вероятность принятия правильного решения $i$-м экспертом равна $p_i$, где $\frac12<m\le p_i\le M<1$, $i=1,2,\dots,n$. Показано, что для вероятности ошибки оптимального коллегиального решения справедливы оценки
$$ \frac{1-M}M\binom{n}{[n/2]}\prod_{i=1}^n\sqrt{p_i(1-p_i)}\le\mathsf{P}^{\text{опт}}_{\text{ош}}\le\frac m{2m-1}\binom{n}{[n/2]}\prod_{i=1}^n\sqrt{p_i(1-p_i)}. $$