О гладком поведении вероятностных распределений при полиномиальных отображениях

Пусть $X$ – случайная величина, имеющая распределение $P_X$, сосредоточенное на $[-1,1]$, и $Q(x)$ – многочлен степени $k\ge2$. Характеристическая функция случайной величины $Y=Q(X)$ имеет порядок $O(1/|t|^{1/k})$ при $|t|\to\infty$, если распределение $P_X$ достаточно гладко. Вместе с тем, для всякого $1/k>\varepsilon>0$ существует сингулярное распределение $P_X$ такое, что всякая свертка $P_X^{n\star}$ также сингулярна, однако характеристическая функция случайной величины $Y$ имеет порядок $O(1/|t|^{1/k-\varepsilon})$. При больших $t$ характеристическая функция $X$ мала “в среднем”, характеристическая функция полиномиального образа $Y$ случайной величины $X$ мала в обычном смысле.