A generalization of the Mejzler–De Haan theorem

Пусть $(k_n)$ — последовательность положительных целых чисел такая, что $k_n\to\infty$ при $n\to\infty$. Пусть $X^\ast_{n1},\dots,X^\ast_{nk_n}$, $n\inN$, — последовательность серий случайных величин такая, что для каждого $n$ случайные величины $X^\ast_{n1},\dots,X^\ast_{nk_n}$ независимы и имеют общую функцию распределения $F_n$. Обозначим $M^\ast_n=\max\{X^\ast_{n1},\dots,X^\ast_{nk_n}\}$. В работе рассматривается пример последовательности серий случайных величин, которая возникает в комбинаторной задаче о времени ожидания (включая зависимый и независимый случай), где $k_n=n$ для каждого $n$ и где предельной функцией распределения для $M^\ast_n$ является $\Lambda(x)=\exp(-e^{-x})$, хотя функции распределения $F_n$, $n=1,2\dots$ не принадлежат области притяжения $D(\Lambda)$. Мы также обобщили теорему Мейзлера и де Хаана и дали необходимые и достаточные условия на последовательность $F_n$, $n=1,2\dots$ для того чтобы существовали последовательности $a_n>0$ и $b_n\in R$, $n\inN$, такие, что $F_n^{k_n}(a_nx+b_n)\to\exp(-e^{-x})$ при $n\to\infty$ для всех действительных чисел $x$.