Maximal $l\phi$-inequalities for nonnegative submartingales

Пусть $(M_n)_{n\geq 0}$ — неотрицательный субмартингал и $M_n^*\stackrel{\textrm{def}}{=}\max_{0\le k\le n}M_k$, $n\ge 0$, — ассоциированная последовательность максимумов. Для неубывающих выпуклых функций $\phi\colon[0,\infty)\to[0,\infty)$ с $\phi(0)=0$ (функций Орлича) доказываются различные оценки $E\phi(M_n^*)$ через $E\Phi_a(M_{n})$, где (для $a\ge 0$)
$$ \Phi_{a}(x)\,\stackrel{\textrm{def}}{=}\,\int_{a}^{x}\!\!\int_{a}^{s}\frac{\phi'(r)}{r}\,dr\,ds, \qquad x>0. $$
Особый интерес представляет случай $\phi(x)=x$, для которого вариационные соображения приводят к неравенству
$$ E M_{n}^{*}\le\Bigg(1+\bigg(E\int_{1}^{M_n\vee 1}\ln x\,dx\bigg)^{1/2}\Bigg)^{2}. $$
Показано, что полученная оценка лучше классической оценки Дуба $e(e-1)^{-1}(1+E M_n\ln^{+}M_n)$, как только $E(M_n-1)^{+}\ge e-2\approx 0.718$.