Localization transition for a copolymer in an emulsion

В этой статье мы изучаем двумерные направленные несамопересекающиеся случайные блуждания, моделирующие кополимеры в случайных растворах. Полимер состоит из последовательно соединенных мономеров двух типов $A$ и $B$, каждый из которых встречается с вероятностью $\frac12$. Раствор представляет собой случайную смесь жидкостей двух типов, $A$ и $B$, объединенных в большие квадратные блоки, встречающиеся с вероятностью $p$ и $1-p$ соответственно, $p$ изменяется от 0 до 1. Полимер в растворе имеет энергию, равную $-\alpha$, умноженное на число $AA$-пар плюс $-\beta$, умноженное на число $BB$-пар, где $\alpha,\beta$ — параметры взаимодействия. Соображения симметрии показывают, что без потери общности мы можем ограничиться рассмотрением конуса $\{(\alpha,\beta):\alpha\ge|\beta|\}$.
Мы выводим вариационное выражение для суммарной свободной энергии/мономер в пределе, когда длина полимера стремится к бесконечности и блоки в растворе имеют размеры $L_n$ так, что $L_n$ стремится к бесконечности, а отношение $L_n/n$ стремится к нулю. Для того чтобы изучить модель математически, мы предполагаем, что полимер может входить и выходить из раствора через пару соседних блоков в диаметрально противоположных углах. Хотя это ограничение не имеет физического смысла, модель обнаруживает богатое и физически осмысленное поведение.
Пусть $p_c$, приблизительно равное $0.64$, есть критическая вероятность для направленной проблемы просачивания на квадратной решетке. Мы показываем, что при $p\ge p_c$ свободная энергия имеет фазовый переход вдоль кривой в конусе, который оказывается независимым от $p$. Для $p<p_c$ мы показываем, что свободная энергия имеет фазовый переход вдоль двух кривых в конусе, зависящий от $p$. Мы получаем ряд результатов о качественных свойствах этих кривых.