Compact Law of the Iterated Logarithm for Matrix-Normalized Sums of Random Vectors

Пусть $(X_n)_{n\ge 1}$ — последовательность независимых центрированных случайных векторов в $R^d$. Приводятся условия, при которых последовательность $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$, нормированная матричной последовательностью $(H_n)$, удовлетворяет компактному закону повторного логарифма. В качестве применения этого результата получен компактный закон повторного логарифма для $B_n^{-1/2}S_n$ и $\Delta_n^{-1/2}S_n$, где $B_n$ — матрица ковариаций вектора $S_n$, а $\Delta_n$ — диагональная матрица, у которой $j$-й член на диагонали совпадает с $j$-м диагональным членом матрицы $B_n$; собственные значения матрицы $B_n$ могут стремиться к бесконечности с разными скоростями, но их повторные логарифмы должны быть эквивалентными.