Асимптотическое поведение ветвящейся диффузии на гиперболическом пространстве

Рассматривается ветвящийся диффузионный процесс на пространстве Лобачевского $H^d$. Проблема состоит в оценке хаусдорфовой размерности предельного множества на границе (абсолюте) $\partialH^d$. В случае однородной ветвящейся диффузии элегантная формула для хаусдорфовой размерности была получена С. Лалли и Т. Селке [5] при $d=2$ и Ф. И. Карпелевичем, Е. А. Печерским и Ю. М. Суховым [3] для общего $d$. Затем М. Я. Кельберт и Ю. М. Сухов [4] распространили эту формулу на случай, когда ветвящаяся диффузия в некотором смысле асимптотически однородна (т.е. ее основной параметр, так называемый потенциал ветвления, стремится к постоянному предельному значению вблизи абсолюта). В этой статье доказывается, что хаусдорфова размерность предельного множества оценивается сверху и снизу в терминах максимальных и минимальных значений потенциала ветвления. Как и в [4], метод основан на свойствах минимальных положительных решений задачи Штурма–Лиувилля с общим потенциалом и элементах гармонического анализа на $H^d$. Мы исследуем связь хаусдорфовой размерности со свойствами рекуррентности и транзиентности (возвратности и невозвратности) ветвящейся диффузии, как они определены А. Григоряном и М. Я. Кельбертом [1] на общих римановых многообразиях.