Асимптотическое поведение вероятностей вырождения остановленных ветвящихся процессов

Первоначальный многотипный ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона
$$ \mu(t)=(\mu_1(t),\mu_2(t),\dots,\mu_m(t)), \qquad t=0,1,2,\dots, $$
порождает остановленный ветвящийся процесс $\xi(t)$, если при попадании $\mu(t)$ в некоторое конечное множество $S$ процесс останавливается. Предполагается, что первоначальный ветвящийся процесс $\mu(t)$ докритичен и неразложим. Доказано, что вероятность вырождения
$$ q_r^n=\lim_{t\to\infty}\mathsf{P}\{\xi(t)=r\mid\xi(0)=n\} $$
для любых $r=(r_1,r_2,\dots,r_m)\in S$, $n=(n_1,\dots,n_m)\notin S$ при $\overline n=n_1+\dots+n_m\to\infty$, $n_i/\overline n\to a_i$ асимптотически сближается с периодической с периодом 1 функцией от $\log_{1/R}\overline n$, где $R<1$ – перронов корень матрицы математических ожиданий $A_{ij}=\mathsf{E}\{\mu_j(1)\mid\mu(0)=e(i)\}$ первоначального докритического ветвящегося процесса $\mu(t)=(\mu_1(t),\mu_2(t),\dots,\mu_m(t))$, а вектор $e(i)=(\delta_{i1},\delta_{i2},\dots,\delta_{im})$, $\delta_{ij}$ – символ Кронекера.