Ветвящиеся процессы в случайной среде и бутылочные горлышки в эволюции популяций

Рассматривается ветвящийся процесс $Z(n)$, $n=0,1,2\dots$ в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных производящих функций $f_0(s),f_1(s),f_2(s),\dots$ . Пусть $S_0=0$, $S_k=\ln f'_0(1)+\dots+\ln f'_{k-1}(1)$, $k\ge 1$, — сопровождающее случайное блуждание, а $\tau (n)$ — самая левая точка, в которой достигается минимум блуждания $\{S_k\}_{k\ge 0}$ на интервале $[0,n]$. В предположении, что выполнено условие Спицера
$$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}P\{S_k>0\}\to\rho\in(0,1),\qquad n\to\infty, $$
показано, что для типичной случайной среды, любого $t\in(0,1]$ и $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ условное распределение величины $Z(\tau (nt)+m)$ при условии $Z(n)>0$ сходится при $n\to\infty$ к (случайному) дискретному распределению. Таким образом, в отличие от неслучайных моментов вида $nt$, в которые (при тех же условиях) размер популяции $Z(nt)$ велик (и даже экспоненциально велик, см. [10]), размер популяции в (случайные) моменты последовательных минимумов сопровождающего случайного блуждания резко уменьшается, и, следовательно, ветвящийся процесс проходит через серию бутылочных горлышек в моменты, соответствующие этим точкам минимумов.
В качестве следствия указанных результатов найдено распределение локального времени первой экскурсии простого случайного блуждания в типичной случайной среде при условии достижения этой экскурсией высокого уровня.