О распределении вероятностей некоторых функционалов от случайного блуждания

В теории броуновского движения давно рассматриваются и уже хорошо изучены такие производные от него процессы, как локальное время, время пребывания выше заданного уровня, значение максимума на отрезке, точка достижения этого максимума. Известны одномерные и некоторые совместные распределения этих процессов в фиксированный момент времени, обнаружено множество взаимосвязей между ними.
В работе рассматривается простейшее симметричное случайное блуждание, т.е. блуждание с бернуллиевским шагом, и определяются дискретные аналоги перечисленных выше функционалов. В качестве основного результата доказывается некоторое равенство двух условных трехмерных распределений, связывающее все построенные дискретные случайные величины. Доказательство основывается на довольно интересном преобразовании траекторий случайного блуждания, переставляющем определенным образом положительные и отрицательные экскурсии.
Делается предельный переход к непрерывному времени, с помощью которого устанавливается аналогичное равенство между распределениями функционалов от броуновского движения. Как в случае дискретного, так и в случае непрерывного времени это соотношение ранее нигде не упоминалось.