О двухтемпературной задаче для уравнения Клейна–Гордона

Рассматривается уравнение Клейна–Гордона с постоянными или переменными коэффициентами в $\mathbf{R}^n$, $n\geq 2$. Начальные данные — случайная функция с конечной средней плотностью энергии, удовлетворяющая условию перемешивания типа Розенблатта или Ибрагимова–Линника. Предполагается также, что начальная функция сходится при $x_n\to\pm\infty$ к двум различным пространственно-инвариантным случайным процессам с распределениями $\mu_\pm$. Изучается распределение $\mu_t$ случайного решения в момент времени $t\in\mathbf{R}$. Основной результат — доказательство сходимости $\mu_t$ к гауссовской трансляционно-инвариантной мере при $t\to\infty$, что означает центральную предельную теорему для уравнения Клейна–Гордона. Доказательство основано на методе “комнат-коридоров” С. Н. Бернштейна и оценках осциллирующих интегралов. Дается приложение к случаю гиббсовских мер $\mu_\pm=g_\pm$ с двумя различными температурами $T_{\pm}$. Показано, что предельная средняя плотность потока энергии для гиббсовских мер формально равна $-\infty\cdot(0,\dots,0,T_+-T_-)$, а для сглаженного решения конечна и равняется $-C(0,\dots,0,T_+-T_-)$ с константой $C>0$. Это соответствует второму началу термодинамики.