Глобальная регулярность и оценки решений параболических уравнений

Для заданного параболического оператора второго порядка
$$ Lu(t,x):=\frac{\partial u(t,x)}{\partial t}+a^{ij}(t,x)\partial_{x_i}\partial_{x_j}u(t,x)+b^i(t,x)\partial_{x_i}u(t,x), $$
рассматривается слабое параболическое уравнение $L^{*}\mu=0$ для борелевских вероятностных мер на $(0,1)\times\mathbf{R}^d$. Уравнение понимается как равенство
$$ \int_{(0,1)\times\mathbf{R}^d} Lu\,d\mu=0 $$
для всех гладких функций $u$ с компактным носителем в $(0,1)\timesR^d$. Это уравнение выполнено для переходных вероятностей диффузионного процесса, ассоциированного с $L$. Показано, что при широких предположениях $\mu$ имеет вид $\mu=\varrho(t,x)\,dt\,dx$, где функция $x\mapsto\varrho(t,x)$ является соболевской, функция $|\nabla_x \varrho(x,t)|^2/\varrho(t,x)$ интегрируема по Лебегу на $[0,\tau]\timesR^d$ и $\varrho\in L^p([0,\tau]\times\mathbf{R}^d)$ для всех $p\in[1,+\infty)$ и $\tau<1$. Более того, дано достаточное условие равномерной ограниченности $\varrho$ на $[0,\tau]\times\mathbf{R}^d$.