H.F.D. ($H$-function distribution) и закон Бенфорда. I

В работе отмечается связь между обширным классом, так называемых, $HF$-случайных величин, приближенно равномерными распределениями и законом Бенфорда. Эта связь детально рассматривается на примере гамма-распределенных случайных величин. Пусть $Y$ — случайная величина, имеющая гамма-распределение с параметром $\alpha$. В работе доказано, что распределение вероятностей дробной части логарифма $Y$ по любому основанию большему $1$ сходится при $\alpha\to 0$ к равномерному на отрезке $[0,1]$ распределению. Отсюда вытекает, что распределение вероятностей первой значащей цифры $Y$ при малых $\alpha$ приближенно описывается законом Бенфорда. Степень приближения иллюстрируется таблицами.