Независимые линейные статистики на двумерном торе

Пусть $X=\mathbf T^2$ — двумерный тор, $\operatorname{Aut}(\mathbf T^2)$ — группа топологических автоморфизмов $\mathbf T^2$, $\Gamma(\mathbf T^2)$ — множество гауссовских распределений на группе $\mathbf T^2$, $\xi_1,\xi_2$ — независимые случайные величины со значениями в $\mathbf T^2$ и с распределениями $\mu_j$ такими, что их характеристические функции не обращаются в нуль. Рассмотрим линейные формы $L_1=\xi_1+\xi_2$ и $L_2=\xi_1+\delta\xi_2$, где $\delta\in\operatorname{Aut}(\mathbf T^2)$. В предположении, что линейные формы $L_1$ и $L_2$ независимы, в статье дано описание возможных распределений $\mu_j$ в зависимости от $\delta$. В частности, дано полное описание автоморфизмов $\delta$ таких, что из независимости $L_1$ и $L_2$ следует, что $\mu_1,\,\mu_2\in\Gamma(\mathbf T^2)$. Оказывается, что соответствующие гауссовские распределения либо вырождены, либо сосредоточены на классах смежности одной и той же плотной в $\mathbf T^2$ однопараметрической подгруппы.