Об усреднении уравнения диффузии в перфорированной области с нелинейным условием на поток на границе полостей и масштабами задачи, приводящими к новому нелинейному соотношению между краевыми условиями и эффективным распределением источников-стоков

В работе изучено асимптотическое поведение решения $u_{\varepsilon}$ начально-краевой задачи для параболического уравнения в ${\varepsilon}$-периодически перфорированной области $\Omega_{\varepsilon}\subset \mathbb{R}^{n}$, $n\ge 3$, с нелинейным третьим краевым условием вида $\partial_{\nu}u_{\varepsilon}+ {\varepsilon}^{-\alpha}\sigma(x,u_{\varepsilon})= {\varepsilon}^{-\alpha}g(x)$ на границе полостей. Предполагается, что диаметр полостей равен $C_{0}{\varepsilon}^{\alpha}$, где $C_{0}>0$, $\alpha=n/(n-2)$. Показано, что при ${\varepsilon}\to 0$ решение исходной задачи аппроксимируется решением усредненной задачи, при этом усредненная задача содержит новое нелинейное слагаемое, представляющее вклад процесса, происходящего на границе микроскопической полости.