О гладкой аппроксимации вероятностных критериев в задачах стохастического программирования

Исследуется один из возможных вариантов гладкой аппроксимации вероятностных критериальных функций в задачах стохастического программирования, позволяющий получить оценки градиента функции вероятности и функции квантили в форме объемного интеграла. Исследование проведено в приложении к задачам максимизации функции вероятности и минимизации функции квантили для функционала потерь, зависящего от вектора управления и одномерной абсолютно непрерывной случайной величины.
Основная идея аппроксимации — замена разрывной функции Хевисайда в интегральном представлении функции вероятности на гладкую функцию, обладающую такими свойствами, как непрерывность, гладкость, а также имеющую легко вычислимые производные. Примером такой функции является функция распределения случайной величины, распределенной по логистическому закону с нулевым средним и конечной дисперсией – сигмоида. Величина, обратно пропорциональная корню из дисперсии, при этом является параметром, который обеспечивает близость исходной функции и ее аппроксимации. Такая замена позволяет получить гладкое приближение функции вероятности, для которого легко могут быть найдены производные по вектору управления и иным параметрам задачи.
Основным результатом статьи являются полученные выражения для аппроксимации производных функции вероятности по вектору управления и по допустимому уровню потерь, а также выражения для аппроксимации градиента функции квантили в форме объемных интегралов. Доказана сходимость аппроксимации функции вероятности, полученной при замене функции Хевисайда на сигмоидальную функцию, к исходной функции вероятности, и получена оценка погрешности такой аппроксимации. Также доказана сходимость аппроксимации производных функции вероятности к истинным производным при выполнении ряда условий на функционал потерь.
Рассмотрены примеры, демонстрирующие возможность применения предложенных оценок к решению задач стохастического программирования с критериальными функциями в форме функции вероятности и функции квантили, в том числе в случае многомерной случайной величины.