Аннотация:
Построены три неэквивалентные градуировки алгебры $D_4 \simeq so(8)$. Первая градуировка стандартна, она получается с помощью автоморфизма Коксетера $C_1=S_{\alpha_2} S_{\alpha_1}S_{\alpha_3}S_{\alpha_4}$ из ее диэдрального представления, во второй используется $C_2 = C_1R$, где $R$ – зеркальный автоморфизм, в третьей – $C_3 = S_{\alpha_2}S_{\alpha_1}T$, где $T$ – внешний автоморфизм порядка 3. Для каждой градуировки построены базис в соответствующих линейных подпространствах $\mathfrak{g}^{(k)}$, орбиты автоморфизмов Коксетера
и соответствующие пары Лакса, порожденные соответствующими иерархиями модифицированных уравнений Кортевега–де Фриза (мКдФ). Найдены компактные выражения для каждой иерархии в терминах операторов рекурсии. Явно выписаны первые нетривиальные уравнения мКдФ и их гамильтонианы.
В действительности для $D_4^{(1)}$ имеются две системы мКдФ, так как в этом случае показатель $3$ имеет кратность 2.
Каждая из этих систем мКдФ состоит из четырех уравнений третьего порядка по $\partial_x$. Для $D_4^{(2)}$ это система из трех уравнений третьего порядка по $\partial_x$, для $D_4^{(3)}$ это система из двух уравнений пятого порядка по $\partial_x$.
Работа поддержана Bulgarian Science Foundation (грант NTS-Russia 02/101
от 23.10.2017) и Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 18-51-18007).
Поступило в редакцию: 10.03.2020 После доработки: 10.03.2020
Образец цитирования:
В. С. Герджиков, А. А. Стефанов, И. Д. Илиев, Г. П. Бояджиев, А. О. Смирнов, В. Б. Матвеев, М. В. Павлов, “Операторы рекурсии и иерархии модифицированных уравнений Кортевега–де Фриза, связанные с алгебрами Каца–Муди $D_4^{(1)}$, $D_4^{(2)}$ и $D_4^{(3)}$”, ТМФ, 204:3 (2020), 332–354; Theoret. and Math. Phys., 204:3 (2020), 1110–1129
Aleksander Aleksiev Stefanov, “New Types of Derivative Non-linear Schrödinger Equations Related to Kac–Moody Algebra A2(1)”, Dynamics, 4:1 (2024), 81
V. S. Gerdjikov, A. A. Stefanov, “Riemann–Hilbert problems, polynomial Lax pairs, integrable equations and their soliton solutions”, Symmetry, 15:10 (2023), 1933
H. Aratyn, J. F. Gomes, G. V. Lobo, A. H. Zimerman, “Derivation of Painlevé type system with $D_4^{(1)}$ affine Weyl group symmetry in a self-similarity limit”, Open Communications in Nonlinear Mathematical Physics, Volume 3 (2023)
В. С. Герджиков, Д. М. Младенов, А. А. Стефанов, С. К. Варбев, “Уравнения типа модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза, связанные с алгебрами Каца–Муди $A_5^{(1)}$ и $A_5^{(2)}$”, ТМФ, 207:2 (2021), 237–260; V. S. Gerdjikov, D. M. Mladenov, A. A. Stefanov, S. K. Varbev, “The $\text{m}$KdV-type equations related to $A_5^{(1)}$ and $A_5^{(2)}$ Kac–Moody algebras”, Theoret. and Math. Phys., 207:2 (2021), 604–625
V. S. Gerdjikov, “On mKdV equations related to Kac-Moody algebras $A_5^{(1)}$ and $A_5^{(2)}$”, Уфимск. матем. журн., 13:2 (2021), 121–140; Ufa Math. J., 13:2 (2021), 115–134