Интегрирование уравнений глубокой жидкости со свободной поверхностью

Показано, что уравнения Эйлера, описывающие нестационарное потенциальное течение двумерной глубокой жидкости со свободной поверхностью при отсутствии гравитации и поверхностного натяжения, могут быть проинтегрированы точно при специальном выборе граничных условий на бесконечности. Предполагается, что поверхность жидкости на бесконечности является невозмущенной, тогда как скорость растет пропорционально расстоянию и обратно пропорционально времени. Это означает, что жидкость сжимается по автомодельному закону. Рассматриваются возмущения автомодельно сжимающейся жидкости, показано, что их эволюция может быть точно описана аналитически после конформного отображения поверхности жидкости на нижнюю полуплоскость и введения двух произвольных функций, аналитических в этой полуплоскости. Если одна из этих функций равна нулю, решение предъявляется в явном виде. В общем случае решение представляется быстро сходящимся рядом, члены которого вычисляются по рекуррентным формулам.