Геометрическое построение решений строгой $\mathbf h$-иерархии

Пусть $\mathbf h$ – комплексная коммутативная подалгебра матриц размера $n\times n$ в алгебре $M_n (\mathbb{C})$. В алгебре $MPsd$ матричных псевдодифференциальных операторов с дифференцированием $\partial$ ранее нами были рассмотрены деформации алгебры $\mathbf h[\partial]$ и ее подалгебры Ли $\mathbf h[\partial]_{>0}$, состоящей из элементов без свободного члена. Оказалось, что различные эволюционные уравнения для генераторов этих двух деформированных алгебр Ли являются совместными наборами уравнений Лакса и определяют соответственно $\mathbf h$-иерархию и ее строгую версию. В настоящей работе с каждой иерархией ассоциируется $MPsd$-модуль, представляющий возмущения вектора, связанного с тривиальным решением каждой иерархии. В каждом модуле описываются так называемые матричные волновые функции, которые напрямую ведут к решениям уравнений Лакса. Представлена связь между матричными волновыми функциями $\mathbf h$-иерархии и ее строгой версии, использующаяся для построения решений последней. Геометрические данные, с помощью которых строятся волновые функции строгой $\mathbf h$-иерархии, образуют плоскость $W$ в грассманиане $Gr(H)$ и представляют собой множество $n$ линейно независимых векторов $\{w_i\}$ в $W$ и подходящим образом выбранные обратимые отображения $\delta\colon S^1\to\mathbf h$, где $S^1$ – единичный круг в $\mathbb{C}^*$. В частности, показано, что действие соответствующей группы потоков может быть поднято с $W$ на другие данные и этот подъем оставляет построенные решения строгой $\mathbf h$-иерархии инвариантными. Для $n>1$ при фиксированных $W$ и $\{w_i\}$ могут существовать различные решения строгой $\mathbf h$-иерархии. Показано, что они связаны друг с другом сопряжением с обратимыми матричными дифференциальными операторами.