Бильярд Артина: экспоненциальный распад корреляционных функций

Траектории гиперболических C-систем Амосова экспоненциально неустойчивы, поэтому C-системы обладают естественными и наиболее сильными хаотическими свойствами. Особый интерес представляют С-системы, которые определены на замкнутых поверхностях плоскости Лобачевского постоянной отрицательной кривизны. Пример такой системы был предложен в блестящей статье, опубликованной в 1924 году Эмилем Артином. Эта динамическая система определена на фундаментальной области плоскости Лобачевского, которая получается путем отождествления точек, конгруэнтных относительно модулярной группы – дискретной подгруппы изометрий плоскости Лобачевского. Фундаментальной областью в этом случае является гиперболический треугольник. Таким образом, временная эволюция геодезических траектории неевклидова бильярда происходит в фундаментальном гиперболическом треугольнике. Нами представлены результаты Артина, вычислены корреляционные функции наблюдаемых, которые определены на фазовом пространстве бильярда, и показано, что корреляционные функции со временем экспоненциально распадаются. Использована символическая динамика Артина, дифференциальная геометрия и теоретико-групповые методы Гельфанда–Фомина.