Матричное уравнение Кадомцева–Петвиашвили: тропический предел, отображения Янга–Бакстера и пентагона

Носителем решений матричного уравнения Кадомцева–Петвиашвили II в тропическом пределе в фиксированный момент времени является плоский граф с прикрепленными к его линейным частям “поляризациями”. Исследуется подкласс солитонных решений, граф которых в тропическом пределе имеет вид корневого и в общем случае бинарного дерева, а также решения, у которых предельный граф состоит из двух взаимно перевернутых графов типа корневого дерева. Распределение поляризаций над линиями графа полностью определяется зависящей от параметров бинарной операцией и (нелинейным в общем случае) отображением Янга–Бакстера, которое становится линейным для векторного уравнения Кадомцева–Петвиашвили и, следовательно, задается $R$-матрицей. Зависимость бинарной операции от параметров приводит к решению уравнения пентагона, для которого выявляется некоторая связь с дилогарифмом Роджерса через решение уравнения гексагона, следующего члена семейства уравнений многоугольников. Оказалось, что полученное для векторного уравнения Кадомцева–Петвиашвили обобщение $R$-матрицы тоже удовлетворяет уравнению пентагона. При этом соответствующая локальная версия последнего приводит к новому решению уравнения гексагона.