Разности идемпотентов в $C^*$-алгебрах и квантовый эффект Холла

Пусть $\varphi$ – след на унитальной $C^*$-алгебре $\mathcal{A}$, $ \mathfrak{M}_{\varphi}$ – идеал определения следа $\varphi$. Получен $C^*$-аналог квантового эффекта Холла: если $P, Q \in \mathcal{A}$ – идемпотенты и $P-Q \in \mathfrak{M}_{\varphi}$, то $\varphi((P-Q)^{2n+1})=\varphi (P-Q)\in \mathbb{R}$ для всех $n\in\mathbb{N}$. Пусть изометрия $U\in \mathcal{A}$ и $A=A^*\in \mathcal{A}$ такие, что $I+A$ обратим и $U-A\in \mathfrak{M}_{\varphi}$ с $\varphi (U-A)\in \mathbb{R}$. Тогда $I-A,\, I-U\in \mathfrak{M}_{\varphi}$ и $\varphi (I-U)\in \mathbb{R}$. Пусть $n \in \mathbb{N}$ и $\dim \mathcal{H}=2n+1$, операторы симметрии $U,V \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $W=U-V$. Тогда оператор $W$ не является симметрией и, если $V=V^*$, оператор $W$ не унитарен.