Суперполиномы в прямоугольных представлениях узла $4_1$

Недавно полученная формула дифференциального разложения полиномов ХОМФЛИ узла $4_1$ в произвольном прямоугольном представлении $R=[r^s]$ переписана как сумма по всем поддиаграммам Юнга $\lambda$ в $R$ с удивительно простыми коэффициентами перед $Z$-факторами. Загадочным образом эти коэффициенты построены из квантовых размерностей симметрических представлений групп $SL(r)$ и $SL(s)$ и ограничивают суммирование диаграммами с не более чем $s$ строками и $r$ столбцами. При этом $\beta$-деформация к размерностям Макдональда дает полиномы с целыми положительными коэффициентами, являющиеся правдоподобными кандидатами на роль суперполиномов для прямоугольных представлений. И полиномиальность, и положительность коэффициентов неочевидны, однако верны. Это обобщает известные ранее формулы для симметрических представлений на произвольные прямоугольные. Дифференциальное разложение допускает введение дополнительных градуировок. Для узла-трилистника $3_1$, на который немедленно распространяются наши результаты для узла $4_1$, получается так называемая “четвертая градуировка” гиперполиномов. Свойства факторизации в корнях из единицы сохраняются даже в пятиградуированном случае.