Числа Гурвица и произведения случайных матриц

Изучаются многоматричные модели, которые можно рассматривать как интегралы от произведений тау-функций, зависящих от собственных значений произведений случайных матриц. Рассмотрены тау-функции двухкомпонентной иерархии Кадомцева–Петвиашвили и иерархии Кадомцева–Петвиашвили типа B, введенной Кацем и ван де Лером. В некоторых случаях эти интегралы сами являются тау-функциями. Рассмотрены модели, генерирующие числа Гурвица $H^{\mathrm E,\mathrm F}$, где $\mathrm E$ – эйлерова характеристика накрываемой поверхности, а $\mathrm F$ – число точек ветвления. Показано, что если подынтегральное выражение содержит произведение $n>2$ матриц, то интеграл порождает числа Гурвица с $\mathrm E\le 2$ и $\mathrm F\le n+2$, причем $\mathrm E$ и $\mathrm F$ зависят и от $n$, и от порядка сомножителей в произведении случайных матриц. Эйлерова характеристика $\mathrm E$ может быть четным или нечетным числом и соответственно описывает ориентируемые или неориентируемые накрываемые поверхности в зависимости от наличия тау-функции в подынтегральном выражении. Изучаются произведения комплексных и произведения унитарных матриц.