Одна лемма из интегральной геометрии и её приложения: нелокальность в уравнении Павловаи томографическая задача с непрозрачным параболическим объектом

Будучи записанными в эволюционной форме, многомерные интегрируемые бездисперсионные уравнения точно так же, как и солитонные уравнения в размерности $2+1$, становятся нелокальными. В частности, уравнение Павлова приводится к виду $v_t=v_xv_y-\partial^{-1}_x\,\partial_y[v_{y}+v^2_{x}]$, где формальный интеграл $\partial^{-1}_{x}$ становится асимметричным интегралом $-\int_x^{\infty}dx'$. Показано, что этот результат можно угадать, используя, по-видимому, новую лемму из интегральной геометрии. Она утверждает, что интеграл от достаточно общей гладкой функции $f(X,Y)$ по параболе в $(X,Y)$-плоскости выражается через интегралы по прямым, не пересекающим эту параболу. Ожидается, что данный результат может найти применения в двумерных линейных задачах томографии с непрозрачными параболическими препятствиями.