Особенности энергетического спектра электрона в кулоновском поле сверхтяжелого ядра

Рассмотрены особенности энергетического спектра электрона в кулоновском поле сверхтяжелого ядра, обсуждаются долгая история неверной трактовки этой проблемы в случае точечного ядра и ее теперешнее правильное решение. Рассмотрена спектральная задача в случае регуляризованного кулоновского поля. При некоторой специальной регуляризации выведено точное уравнение, определяющее точечный спектр в интервале энергий $(-m,m)$, и найдены численно некоторые его решения. Выведено также точное уравнение для зарядов, дающих связанные состояния с энергией $E=-m$; некоторые называют эти заряды сверхкритическими. Показано, что существует бесконечное число таких зарядов. Их существование не означает, что одночастичная релятивистская квантовая механика, основанная на гамильтониане Дирака с кулоновским полем таких зарядов, математически непоследовательна, хотя физически она неприемлема, потому что спектр гамильтониана не ограничен снизу. Вопрос о построении последовательной непертурбативной вторично квантованной теории по-прежнему остается открытым, а также остаются неясными последствия существования сверхкритических зарядов с точки зрения возможности построения этой теории.