Потенциалы, для которых разрешимо уравнение Шредингера

Показано, что если потенциал пропорционален некоторому не зависящему от энергии непрерывному параметру, то существуют пятнадцать преобразований координат, порождающих потенциалы, форма которых не зависит от этого параметра и для которых одномерное стационарное уравнение Шредингера решается в конфлюэнтных функциях Гойна. Все эти потенциалы также не зависят от энергии и задаются семью параметрами. Вследствие того что конфлюэнтное уравнение Гойна симметрично относительно перестановки его регулярных особых точек, только девять из этих потенциалов являются независимыми. Из них пять потенциалов представляют собой различные обобщения гипергеометрических или вырожденных гипергеометрических классических потенциалов, один потенциал включает как частные случаи потенциалы двух гипергеометрических типов (вырожденный гипергеометрический потенциал Морзе и гипергеометрический потенциал Эккарта), а остальные три включают в себя пятипараметрические условно интегрируемые вырожденные гипергеометрические потенциалы. Ни один из конфлюэнтных потенциалов Гойна нельзя, вообще говоря, преобразовать в какой-либо другой путем подбора параметров.