Альтернативное доказательство априорной $\operatorname{tg}\Theta$-теоремы

Пусть $A$ – самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве. Предположим, что спектр $A$ состоит из двух изолированных компонент $\sigma_0$ и $\sigma_1$, причем множество $\sigma_0$ лежит в конечной лакуне множества $\sigma_1$. Известно, что если $V$ – ограниченное аддитивное самосопряженное возмущение $A$, внедиагональное по отношению к разбиению $\operatorname{spec}(A)=\sigma_0\cup\sigma_1$, то при $\|V\|<\sqrt{2}d$, где $d=\operatorname{dist}(\sigma_0,\sigma_1)$, спектр возмущенного оператора $L=A+V$ состоит из двух изолированных частей $\omega_0$ и $\omega_1$, представляющих собой результат возмущения спектральных множеств $\sigma_0$ и $\sigma_1$ соответственно. Более того, для разности спектральных проекторов $\mathsf E_A(\sigma_0)$ и $\mathsf E_L(\omega_0)$, отвечающих спектральным множествам $\sigma_0$ и $\omega_0$ операторов $A$ и $L$, имеет место точная оценка $\|\mathsf E_A(\sigma_0)-\mathsf E_L(\omega_0)\| \leq\sin\bigl(\operatorname{arctg}\frac{\|V\|}{d}\bigr)$. В настоящей работе мы даем новое доказательство этой оценки для случая, когда $\|V\|<d$.