Обобщенные треугольники Паскаля и сингулярные элементы модулей алгебр Ли

Рассматривается задача нахождения функции кратности $m_{\xi}^{\otimes^p\omega}$ в разложении тензорной степени модуля полупростой алгебры $\mathfrak{g}$ на неприводимые подмодули. Предложен переход к соответствующему разложению сингулярного элемента тензорной степени модуля $\Psi((L_g^\omega)^{\otimes p})$ на сингулярные элементы неприводимых подмодулей и сформулирована задача нахождения $M_{\xi}^{\otimes^p\omega}$. Функция $M_{\xi}^{\otimes^p\omega}$ удовлетворяет системе рекуррентных соотношений, которые соответствуют \linebreak процедуре перемножения модулей. Для решения поставленной задачи вводится специальный комбинаторный объект – oбобщенная $(g,\omega)$-пирамида – массив чисел $(p,\{m_i\})_{g,\omega}$, удовлетворяющих той же системе рекуррентных соотношений. Доказано, что $M_{\xi}^{\otimes^p\omega}$ представляется в виде линейной комбинации соответствующих $(p,\{m_i\})_{g,\omega}$. Полученное решение иллюстрируется на примерах модулей алгебр $sl(3)$ и $so(5)$.